O uso dos porquês

Porque 

é uma conjunção causal ou explicativa e, assim, liga duas orações, indicando relação de causa.

pode ser substituído por pois, já que, visto que, uma vez que ou em razão de que.

- indica causa; explicação; finalidade.

Fui a Ubatuba porque gosto de surfar.

Porquê 

é um substantivo que pode ser trocado pela palavra razão ou motivo.

- utilizado em respostas e quase sempre é acompanhado pelo artigo -o ou algum determinante.

Não sei o porquê de amar tanto o mar

Por que 

é uma locução adverbial de causa.

pelo qual (pronome relativo) e por qual motivo (pronome interrogativo)

é usado para substituir termos como pelo qual, por qual razão e pelas quais.

- utilizado em perguntas: diretas e indiretas.

Por que não voltamos para a casa?

Não sei por que não quero viajar.

Por que relativo

Estabelecendo uma relação com um termo antecedente, por que é usado como elo entre duas orações, podendo ser substituído por:

pelo qual;

pela qual;

pelos quais;

pelas quais;

por qual;

por quais.

Exemplos com por que (relativo)

Não achei o caminho por que passei.

As razões por que fui embora são pessoais.

Substituição do por que (relativo)

Não achei o caminho pelo qual passei.

Não achei o caminho por qual passei.

As razões pelas quais fui embora são pessoais.

As razões por quais fui embora são pessoais.

Por quê

é a combinação da preposição por com o pronome interrogativo que

Ocorre sempre quando a palavra que estiver no fim de uma estrutura frasal ou vier antes de um ponto (final, interrogativo ou de exclamação).

Vocês não viajaram por quê?

MAIS

Por que é considerada uma locução adverbial interrogativa de causa, ou seja, possui valor de ADVÉRBIO.

Que, no entanto, é um pronome interrogativo.